Cho hàm số y = {x^2} - 4x + 5} / {x - 2}) có đồ thị C

19/22

Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 5}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(A\) là điểm cực trị có tung độ âm của đồ thị \(\left( C \right)\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường tiệm cân xiên của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt a }}{b}\) với \(a,b \in {\mathbb{Z}^ + }\) và \(a\) là số nguyên tố. Tính \(2026a + b\).

Giải thích

Đáp án: 4054.

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 5}}{{x - 2}},\,\,x \ne 2\).

\(y = \frac{{x(x - 2) - 2(x - 2) + 1}}{{x - 2}} = x - 2 + \frac{1}{{x - 2}}\).

\(y' = 1 - \frac{1}{{{{(x - 2)}^2}}} = 0\)\( \Leftrightarrow {(x - 2)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3}\\{x - 2 = - 1 \Rightarrow x = 1}\end{array}} \right.\)(thoả mãn)

Với \(x = 3 \Rightarrow y = 3 - 2 + \frac{1}{{3 - 2}} = 2\).

Với \(x = 1 \Rightarrow y = 1 - 2 + \frac{1}{{1 - 2}} = - 1 - 1 = - 2\).

Theo đề bài, \(A\) là điểm cực trị có tung độ âm, do đó tọa độ điểm \(A\) là: \(A(1; - 2)\).

Dựa vào \[y = x - 2 + \frac{1}{{x - 2}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {\frac{1}{{x - 2}}} \right] = 0\].

Do đó đường tiệm cận xiên \[\Delta \] của đồ thị \((C)\) là: \(y = x - 2 \Leftrightarrow x - y - 2 = 0\).

Khoảng cách từ điểm \(A(1; - 2)\) đến đường thẳng \(\Delta :x - y - 2 = 0\):

\(d(A,\Delta ) = \frac{{|1 - ( - 2) - 2|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{|1 + 2 - 2|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Theo đề bài, khoảng cách này bằng \(\frac{{\sqrt a }}{b}\) với \(a,b \in {\mathbb{Z}^ + }\) và \(a\) là số nguyên tố.

Suy ra \(\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt a }}{b} \Rightarrow a = 2,b = 2 \Rightarrow 2026.2 + 2 = 4054\).