Cho hàm số y = (x^2) + 3x có đồ thị (P ). Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để đường thẳng d:y = x + m^2 cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho trung điểm I của đoạn AB nằ

35/82

Cho hàm số \[y = {x^2} + 3x\] có đồ thị \[\left( P \right)\]. Gọi \[S\] là tập hợp các giá trị của tham số \[m\] để đường thẳng \[d:y = x + {m^2}\] cắt đồ thị \[\left( P \right)\] tại hai điểm phân biệt \[A,B\] sao cho trung điểm I của đoạn \[AB\] nằm trên đường thẳng \[d':y = 2x + 3\]. Tổng bình phương các phần tử của \[S\] là

\(6\)

\(4\).

\(2\).

\(1\).

Giải thích

Lời giải

Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm của \[d\] và \[\left( P \right)\] là:

\[{x^2} + 3x = x + {m^2} \Leftrightarrow {x^2} + 2x - {m^2} = 0\] (1).

Đề d cắt \[\left( P \right)\] tại 2 điểm phân biệt \[\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 1 + {m^2} > 0,\forall m \in \mathbb{R}\].

Gọi \[{x_1};{\rm{ }}{x_2}\] là 2 nghiệm của phương trình (1), khi đó \[A\left( {{x_1};{x_1} + {m^2}} \right)\], \[B\left( {{x_2};{x_2} + {m^2}} \right)\] \[ \Rightarrow I\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\frac{{{x_1} + {x_2} + 2{m^2}}}{2}} \right)\]

Theo Vi ét ta có \[{x_1} + {x_2} = - 2;{\rm{ }}{x_1}.{x_2} = - {m^2}\] nên \[I\left( { - 1;{m^2} - 1} \right)\].

Vì \[I\] thuộc \(d'\) nên \[{m^2} - 1 = 1 \Leftrightarrow {m^2} = 2 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 2 \].