Cho hàm số y = (x^2 + 3x + 3)/( x + 2) .

a) Ta có \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 2}}\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)

Đạo hàm \(y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

Vì tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng \(d:y =  - 3x - 11\) nên có phương trình hoành độ tiếp điểm: \(y' =  - 3\)  Û \(1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} =  - 3\)    Û \[{\left( {x + 2} \right)^2} = \frac{1}{4}\] Û \[\left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{5}{2}\\x =  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\].

* Với \(x =  - \frac{5}{2} \Rightarrow y =  - \frac{7}{2}\)

Phương trình tiếp tuyến \({\Delta _2}:y =  - 3\left( {x + \frac{5}{2}} \right) - \frac{7}{2}\) hay \({\Delta _2}:y =  - 3x - 11\) (loại vì \({\Delta _2} \equiv d\)).

* Với \(x =  - \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{2}\)

Phương trình tiếp tuyến \({\Delta _1}:y =  - 3\left( {x + \frac{3}{2}} \right) + \frac{3}{2}\) hay \({\Delta _1}:y =  - 3x - 3\)

Nhận thấy \({\Delta _1}\) đi qua điểm \(B\left( {1; - 6} \right)\). Vậy a) Đúng

b) Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x =  - 1\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Ta có \({y_{C\S}} + {y_{CT}} =  - 3 + 1 =  - 2\). Vậy b) Sai

c) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {\frac{1}{{x + 2}}} \right) = 0\) Þ Đồ thị có tiệm cận xiên: \(d:y = x + 1\).

Nhận thấy \(d\) không đi qua điểm \(A\left( {0;2} \right)\). Vậy c) Sai

d) Từ Bảng biến thiên, ta có hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Vậy d) Đúng