Cho hàm số y = (x^2 - 2x + 3)/(x - 1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                   b) Đúng.              c) Đúng.              d) Sai.

a) Đúng. Có \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}} = x - 1 + \frac{2}{{x - 1}}\).

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{2}{{x - 1}} = 0\) nên y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}} = + \infty \]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}} = - \infty \] nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

b) Đúng. Giao điểm của tiệm cận xiên y = x – 1 với hai trục tọa độ lần lượt tại A(1; 0) và B(0; −1).

Vì OA = OB = 1 nên tam giác OAB vuông cân.

c) Đúng. Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = x - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\). Điểm này nằm trên trục hoành.

d) Sai. x + y = 0 Û y = −x có hệ số góc a = −1 và đường tiệm cận xiên y = x – 1 có hệ số góc a' = 1.

Vì a‧a' = −1 nên hai đường thẳng này vuông góc với nhau.