Cho hàm số y = −x^2 + 2x + 3 có đồ thị (P). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Sự biến thiên:

o    Hệ số \(a = - 1 < 0\), \(b = 2\), \(c = 3\).

o    Tọa độ đỉnh \(I\): \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = 1\); \({y_I} = - {1^2} + 2 \cdot 1 + 3 = 4 \Rightarrow I\left( {1;4} \right)\).

o    Trục đối xứng là đường thẳng \(x = 1\).

o    Khoảng biến thiên: Vì \(a = - 1 < 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

o    Bảng biến thiên:

Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\):

o    Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 3\), đồ thị cắt \(Oy\) tại \(\left( {0;3} \right)\).

o    Cho \(y = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 3\). Đồ thị cắt \(Ox\) tại \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {3;0} \right)\).

o    Điểm đối xứng với \(\left( {0;3} \right)\) qua trục \(x = 1\) là \(\left( {2;3} \right)\).

o    Đồ thị \(\left( P \right)\) là một parabol có đỉnh \(I\left( {1;4} \right)\), nhận đường thẳng \(x = 1\) làm trục đối xứng và quay bề lõm xuống dưới.