Cho hàm số y = (x^2 + 1) / (x − m), m ∈ R.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                   b) Đúng.              c) Sai.                  d) Sai.

a) Đúng. Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {m^ - }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - m}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {m^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - m}} = - \infty \) nên x = m là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) Đúng. Có \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - m}} = x + m + \frac{{1 + {m^2}}}{{x - m}}\).

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + m} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 + {m^2}}}{{x - m}} = 0\).

Do đó y = x + m là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c) Sai. Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{{x - m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{1}{x} - \frac{m}{{{x^2}}}}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{{x - m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{1}{x} - \frac{m}{{{x^2}}}}} = - \infty \) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

d) Sai. Tiệm cận xiên y = x + m giao với Ox tại A(−m; 0) và giao với Oy tại B(0; m).

Do đó để S_DAOB = 3 thì \(\frac{1}{2}\left| { - m} \right| \cdot \left| m \right| = 3\)\( \Leftrightarrow {m^2} = 6 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 6 \).