Cho hàm số \(y =x/ {x + m}}\) ( \(m\) là tham số). Tìm giá trị của \(m\) để hàm số nghịch biến

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - m\} \).

Với \({x_1} \ne {x_2}\) ta có: \(A = \frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = \frac{{\frac{{{x_1}}}{{{x_1} + m}} - \frac{{{x_2}}}{{{x_2} + m}}}}{{{x_1} - {x_2}}} = \frac{m}{{\left( {{x_1} + m} \right)\left( {{x_2} + m} \right)}}\).

Để hàm số nghịch biến trên \(( - \infty ; - 1)\) khi \( - 1 \le  - m \Leftrightarrow m \le 1(*)\)

Do đó: \(\forall {x_1},{x_2} \in ( - \infty ; - m),{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow {x_1} <  - m;{x_2} <  - m\)

\( \Rightarrow {x_1} + m < 0,{x_2} + m < 0 \Rightarrow A < 0 \Leftrightarrow m < 0\)

Kết hợp với (*) ta có \(m < 0\).