Cho hàm số y = (x + m)/(x + 1) thỏa mãn min[1; 2] y + max[1; 2] y = 16/3. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

77/100

Cho hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}\) thỏa mãn \(\mathop {min}\limits_{\left[ {1;2} \right]} y + \mathop {max}\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = \frac{{16}}{3}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?

\(m > 4\).

\(2 < m \le 4\).

\(m \le 0\).

\(0 < m \le 2\).

Giải thích

Phương pháp giải:

Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn.

Giải chi tiết:

Với \(m = 1\) thì \(y = \frac{{x + 1}}{{x + 1}} = 1\) nên \(\mathop {min}\limits_{\left[ {1;2} \right]} y + \mathop {max}\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = 2\) không thỏa mãn đề bài.

Với \(m \ne 1\) thì \(y' = \frac{{1 - m}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất nên hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}\) luôn đơn điệu trên \(\left[ {1;2} \right]\).

Khi đó \(\mathop {min}\limits_{\left[ {1;2} \right]} y + \mathop {max}\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = y\left( 1 \right) + y\left( 2 \right) = \frac{{16}}{3} \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{2} + \frac{{m + 2}}{3} = \frac{{16}}{3} \Leftrightarrow 3\left( {m + 1} \right) + 2\left( {m + 2} \right) = 32\)

\[ \Leftrightarrow 5m + 7 = 32 \Leftrightarrow m = 5\]