Cho hàm số y = x + căn bậc hai của (4 - x^2). Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số trên.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −2

Tập xác định D = [−2; 2].

Xét hàm số y = x + \(\sqrt {4 - {x^2}} \).

y' = 1 − \(\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\) = \(\frac{{ - x + \sqrt {4 - {x^2}} }}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\), x ∈ (−2; 2).

y' = 0 ⇔\(\sqrt {4 - {x^2}} \) − x = 0 ⇔\(\sqrt {4 - {x^2}} \) = x ⇔\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{x = \sqrt 2 \in \left( { - 2;2} \right)}\\{x = - \sqrt 2 \notin \left( { - 2;2} \right)}\end{array}} \right.\)       \[\]

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y\) = −2.