Cho hàm số y = − x ^3 − m x^2 + ( 4 m + 9 ) x + 5 với m là tham số. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Đáp án

Phát biểu	Đúng	Sai
Khi \(m = 0\) thì hàm số đã cho có 2 cực trị.	X
Có 6 giá trị nguyên của \(m\) để hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).		X

Giải thích

+) Thay \(m = 0\) ta được: \(y =  - {x^3} + 9x + 5\).

\(y' =  - 3{x^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 3 \). Vậy hàm số có 2 cực trị.

+) \(y =  - {x^3} - m{x^2} + \left( {4m + 9} \right)x + 5\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

\(y' =  - 3{x^2} - 2mx + 4m + 9\).

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow y' \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\) (với \(y' = 0\) tại hữu hạn điểm)

\( \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 3\left( {4m + 9} \right) \le 0 \Leftrightarrow  - 9 \le m \le  - 3\).

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 9; - 8; \ldots ; - 3} \right\}\). Vậy có 7 giá trị nguyên của \(m\).