Cho hàm số y = (x − 2m) / (x^2 − 2x + 4), m ∈ R. Tính tổng các giá trị của m để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0,25

Nếu m = 0 thì \(y = \frac{{x - 2}}{{ - 2x + 4}} = - \frac{1}{2}\). (không thỏa mãn).

Nếu m ≠ 0.

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 2}}{{m{x^2} - 2x + 4}} = 0\) nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng. Khi đó f(x) = mx² – 2x + 4 = 0 có nghiệm duy nhất khác 2 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 2.

TH1: f(x) = 0 có nghiệm duy nhất khác 2.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 16m = 0\\f\left( 2 \right) \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{1}{4}\\4m \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}\) (thỏa mãn).

TH2: f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 2.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 16m > 0\\f\left( 2 \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{1}{4}\\m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m = 0\) (loại vì m ≠ 0).

Vậy tổng các giá trị của m là 0,25.