Cho hàm số y = (x + 2)/(x − 1) có đồ thị (C) và điểm A(2; −3).

a) Ta có: Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Suy ra là mệnh đề sai.

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 1 \Rightarrow y = 1\) là tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty  \Rightarrow x = 1\) là tiệm cận đứng.

Đồ thị nhận \(I\left( {1;1} \right)\) là tâm đối xứng. Mệnh đề đúng.

c) \(\left( C \right)\) giao với \(Oy\) tại \(M\left( {0; - 2} \right)\).

\(y'\left( 0 \right) =  - 3\).

Phương trình tiếp tuyến tại \(\left( C \right)\) là \(y =  - 3x - 2\).

\(y\left( 2 \right) =  - 8 \ne  - 3\) suy ra đường thẳng \(y =  - 3x - 2\) không đi qua \(A\).

Suy ra là mệnh đề đúng.

d) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(I\left( {1;1} \right)\) và cắt \(\left( C \right)\) nên có dạng \(y = k\left( {x - 1} \right) + 1\,\,\,\,\left( {k \ne 0} \right)\)

Hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\Delta \) là nghiệm của phương trình

\(k\left( {x - 1} \right) + 1 = \frac{{x + 2}}{{x - 1}} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = \frac{3}{k} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt {\frac{3}{k}}  + 1\\x =  - \sqrt {\frac{3}{k}}  + 1\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k > 0} \right)\).

Giả sử \({x_N} = \sqrt {\frac{3}{k}}  + 1 \Rightarrow N\left( {\sqrt {\frac{3}{k}}  + 1;3\sqrt k  + 1} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(AI\) là \(4x + y - 5 = 0\).

\(I\left( {1;1} \right)\) là tâm đối xứng của đồ thị \(\left( C \right)\) nên \(I\) là trung điểm của \(MN\).

\({S_{AMN}} = 2{S_{IAN}} = d\left( {N,AI} \right).AI = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\sqrt k }} + 3\sqrt k  \ge 24\sqrt 3 \).

Vậy diện tích nhỏ nhất của tam giác \(AMN\) bằng \(24\sqrt 3 \) (đvdt).

Mệnh đề sai.