Cho hàm số y = x^ 2 + b x + c / x + n có đồ thị và hai đường tiệm cận d 1 , d 2 như hình vẽ dưới đây.

a) [NB] Quan sát đồ thị hàm số, ta có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x =  - 1\).

b) [TH] Quan sát đồ thị hàm số ta có hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)(đồ thị là đường đi lên từ trái sang phải).

c) [TH] Đồ thị hàm số có 2 trục đối xứng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) là 2 đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng\({d_1}:x =  - 1 \Leftrightarrow x + 1 = 0\) và \({d_2}:y = x \Leftrightarrow x - y = 0\).

Ta có khoảng: \(\left| {x + 1} \right| = \frac{{\left| {x - y} \right|}}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \left( {1 - \sqrt 2 } \right)\left( {x + 1} \right) - 1\\y = \left( {\sqrt 2  + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - 1\end{array} \right.\)

Do đó, \(p = 1,q = 2,r = 1\). Khi đó \(p + q + r = 4\).

d) [VD,VDC] Dựa vào đồ thị hàm số, ta có: Tiệm cận đứng \(x =  - 1\) và tiệm cận xiên \(y = x\), đồ thị cắt trục Oy tại \(y = 1\) nên \(y = x + \frac{1}{{x + 1}}\).

\[y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\]

Do đó đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là \(A\left( { - 2; - 3} \right),B\left( {0;1} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4} \right)\) và \(\overrightarrow {AM}  = \left( {1214;2028} \right) \ne k\overrightarrow {AB} ,k \in \mathbb{R}\) hay A,B,M không thẳng hàng.

Cách khác: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \(\Delta :y = \frac{{2x + b}}{1} = 2x + b\) đi qua điểm cực đại \(A\left( { - 2; - 3} \right) \Rightarrow  - 3 = 2\left( { - 2} \right) + b \Rightarrow b = 1\).

\(\Delta :y = 2x + 1\). Dễ thấy \(M\left( {1212;2025} \right)\)không nằm trên đường thẳng\(\Delta \).