Cho hàm số y = (x − 1) / (x^2 + 2(m − 1)x + m^2 − 3), m ∈ [−2020; 2020]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận đứng?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2022
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 3}}\) có đúng hai đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình f(x) = x2 + 2(m – 1)x + m2 – 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 3} \right) > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m + 4 > 0\\1 + 2\left( {m - 1} \right) + {m^2} - 3 \ne 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\{m^2} + 2m - 4 \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m \ne - 1 + \sqrt 5 \\m \ne - 1 - \sqrt 5 \end{array} \right.\).
Mà m ∈ ℤ và m Î [−2020; 2020] nên m Î {−2020; −2019; …; 0; 1}.
Vậy có 2022 số nguyên m thỏa mãn.