Cho hàm số y =( x + 1)/( x − 3) có đồ thị ( C ) . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 = 1 + √ 2 + √ 5 cùng với 2 tiệm cận của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác. Diện

45/50

Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 3}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1 + \sqrt 2 + \sqrt 5 \) cùng với 2 tiệm cận của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác. Diện tích của tam giác tạo thành bằng (nhập đáp án vào ô trống).

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Xét điểm \(M\left( {a + 3,1 + \frac{4}{a}} \right)\) bất kì nằm trên \(\left( C \right)\).

Có \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} \Rightarrow f'\left( {a + 3} \right) = \frac{{ - 4}}{{{a^2}}}\).

Khi đó, phương trình tiếp tuyến đi qua \(M\left( {a + 3,1 + \frac{4}{a}} \right)\) là \(y = \frac{{ - 4}}{{{a^2}}}\left( {x - a - 3} \right) + 1 + \frac{4}{a}\)

Hai tiệm cận của đồ thị hàm số trên là \(x = 3\) và \(y = 1\) cắt nhau tại điểm \(I\left( {3;1} \right)\), khi đó ta tìm được giao điểm của tiếp tuyến với hai tiệm cận là \(A\left( {3;1 + \frac{8}{a}} \right);B\left( {3 + 2a;1} \right)\)

Khi đó, diện tích của tam giác \(IAB\) là \(\frac{1}{2}\left| {1 + \frac{8}{a} - 1} \right|\left| {3 + 2a - 3} \right| = 8\).

Vậy tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1 + \sqrt 2 + \sqrt 5 \) cùng với 2 tiệm cận của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có diện tích là 8.

Đáp án cần nhập là: \(8\).