Cho hàm số y =( x − 1)/( x + 2) có đồ thị ( C ) . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của ( C ) .

Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\]

\[y' = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}} > 0\forall x \ne  - 2\] nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định \[\left( { - \infty ; - 2} \right),\left( { - 2; + \infty } \right)\].

Phát biểu 1 Sai

Đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\] có TCĐ \[x =  - 2\] và TCN \[y = 1\]nên đồ thị có tâm đối xứng \[I\left( { - 2;1} \right)\]

Phát biểu 2 Sai. ( Hàm số có tâm đối xứng là sai, phát biểu đúng là đồ thị hàm số có tâm đối xứng)

Tại \[x = 1 \Rightarrow y = 0,f'(1) = \frac{1}{3}\]

PTTT: \[y = \frac{1}{3}(x - 1) = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}\].

Phát biểu 3 Đúng.

Tam giác IAB đều với \[I\left( { - 2;1} \right)\], \[A,B \in (C) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\(\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} ) = {60^0}\end{array} \right.\]

Gọi \[A(a;1 - \frac{3}{{a + 2}}),B(b;1 - \frac{3}{{b + 2}})\]

Khi đó: \[\begin{array}{l}IA = \sqrt {{{(a + 2)}^2} + \frac{9}{{{{(a + 2)}^2}}}} ,IB = \sqrt {{{(b + 2)}^2} + \frac{9}{{{{(b + 2)}^2}}}} \\\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\(\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} ) = {60^0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(a + 2)^2} + \frac{9}{{{{(a + 2)}^2}}} = {(b + 2)^2} + \frac{9}{{{{(b + 2)}^2}}}\\\frac{{(a + 2)(b + 2) + \frac{9}{{(a + 2)(b + 2)}}}}{{\sqrt {{{(a + 2)}^2} + \frac{9}{{{{(a + 2)}^2}}}} .\sqrt {{{(b + 2)}^2} + \frac{9}{{{{(b + 2)}^2}}}} }} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\](1)

Đặt: \[m = (a + 2),n = (b + 2)\]

\[\begin{array}{l}IA = \sqrt {{m^2} + \frac{9}{{{m^2}}}} ,IB = \sqrt {{n^2} + \frac{9}{{{n^2}}}} \\(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + \frac{9}{{{m^2}}} = {n^2} + \frac{9}{{{n^2}}}(2)\\\frac{{mn + \frac{9}{{mn}}}}{{\sqrt {{m^2} + \frac{9}{{{m^2}}}} .\sqrt {{n^2} + \frac{9}{{{n^2}}}} }} = \frac{1}{2}(3)\end{array} \right.\end{array}\]

(2): \[{m^2} + \frac{9}{{{m^2}}} = {n^2} + \frac{9}{{{n^2}}} \Rightarrow ({m^2} - {n^2})({m^2}{n^2} - 9) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = n\\m =  - n\\mn =  - 3\\mn = 3\end{array} \right.\]

Các trường hợp \[m = n,m =  - n,mn =  - 3\]thay vào (3): không thỏa, nên loại.

Xét \[mn = 3:(3) \Rightarrow \frac{6}{{{m^2} + \frac{9}{{{m^2}}}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {m^2} + \frac{9}{{{m^2}}} = 12 \Rightarrow IA = AB = \sqrt {12}  = 2\sqrt 3 \]

Vậy\[AB = 2\sqrt 3 \]

Phát biểu 4 Đúng.

Từ đó ta suy ra:

a) Sai.

b) Sai.

c) Đúng.

d) Đúng.