Cho hàm số y = x+ 1 / x-1 (C). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc -10 10 để đường thẳng y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho góc AOB nhọn?

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị

x+1x−1=2x+m⇔x+1=2x+mx−1⇔x+1=2x2−2x+mx−m⇔2x2+m−3x−m−1=0

Đặt gx=2x2+m−3x−m−1

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt xA, xB khác 1, nghĩa là

Δ>0g1≠0⇔m−32+8m+1>02+m−3−m−1≠0⇔m2−6m+9+8m+8>0−2≠0⇔m2+2m+17>0−2≠0 (đúng)

Áp dụng định lý Vi-ét ta có S=xA+xB=3−m2P=xAxB=−m+12

Từ đó suy ra tọa độ điểm AxA;2xA+m, BxB;2xB+m

Ta có OA=xA2+2xA+m2, OB=xB2+2xB+m2,

AB=xB−xA2+2xB−2xA2=5xB−xA2

Áp dụng định lý cos trong ΔOAB ta có

cosAOB^=OA2+OB2−AB22OA.OB

Theo đề, góc AOB^ nhọn nên

cosAOB^>0⇔OA2+OB2−AB22OA.OB>0⇔OA2+OB2>AB2⇔xA2+2xA+m2+xB2+2xB+m2>5xB−xA2⇔xA2+4xA2+4mxA+xB+xB2+4xB2+2m2>5xA2−2xAxB+xB2⇔4mxA+xB+2m2>−10xAxB⇔4mS+2m2>−10P⇔4m3−m2+2m2>10m+12⇔2m3−m+2m2>5m+1⇔6m−2m2+2m2>5m+5⇔m>5

Mà m∈ℤ và m∈−10;10 nên suy ra m∈6;7;8;9;10

Vậy có 5 giá trị m thỏa đề.