Cho hàm số y =m(x^2) + 3(m^2) - 2)x - 2/(x + 3m) (1), m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45 độ

8/35

Cho hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + \left( {3{m^2} - 2} \right)x - 2}}{{x + 3m}}\) (1), \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng \(45^\circ \).

\(m = - 2\).

\(m = \pm 1\).

\(m = - 1\).

\(m = 1\).

Giải thích

Lời giải

Ta có \(y = \frac{{m{x^2} + \left( {3{m^2} - 2} \right)x - 2}}{{x + 3m}} = mx - 2 + \frac{{6m - 2}}{{x + 3m}}\).

Khi \(m = \frac{1}{3}\) đồ thị hàm số không tồn tại hai tiệm cận.

Khi \(m \ne \frac{1}{3}\) đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là \({\Delta _1}:y = mx - 2 \Leftrightarrow mx - y - 2 = 0\), tiệm cận đứng là \({\Delta _2}:x = - 3m \Leftrightarrow x + 3m = 0\).

Góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng \(45^\circ \) nên

\[\cos 45^\circ = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow m = \pm 1\].

Vậy giá trị \(m\) cần tìm là \[m = \pm 1\]. Chọn B.