Cho hàm số y = mx + 3 (d1) và y = -x/m + 3 (d2). Gọi A là giao điểm của d1 và d2, B và C lần lượt là giao của d1 và d2, với Ox.

• Vì A là giao điểm của d₁ và d₂ nên hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình nên:

mx+3=−xm+3⇔mx=−xm⇔mx+xm=0⇔xm+1m=0⇒x=0

Khi đó tọa độ của điểm A là A(0; 3).

• Vì B là giao điểm của d₁ và Ox nên hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình nên:

mx + 3 = 0⇔x=−3m

Khi đó, tọa độ của điểm B là B−3m; 0

• Vì C là giao điểm của d₂ và Ox nên hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình nên:

−xm+3=0⇔x=3m

Khi đó, tọa độ của điểm C là C(3m; 0).

Hệ số góc của d₁ là m và hệ số góc của d₂ là −1m có m.−1m=−1 nên hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau tại A.

Khi đó, tam giác ABC là tam giác vuông tại A và có diện tích là 12AB.AC

Ta có: AB=−3m2+−32=31m2+1=31+m2m2;

AC=3m2+−32=3m2+1

⇒12AB.AC=12⋅31+m2m2⋅3m2+1=9m2+12m=92m+1m

Áp dụng BĐT Cô-si vào 2 số dương m và 1m ta có:

12AB.AC=92m+1m≥92⋅2m⋅1m=9

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m=1m

⇔m2=1⇔m=±1

Vậy giá trị m nhỏ nhất là m = −1 thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất là 9.