Cho hàm số y = (m – 1)x^3 + 2(m + 1)x^2 – x + m – 1 (m là tham số). a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1. b) Tìm giá trị của m để tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ x0 = −2.

a) Khi m = −1 ta được: y = −2x³ – x – 2.

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y' = −6x² – 1

           y' = 0 phương trình vô nghiệm.

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên ℝ.

Hàm số không cực trị.

Đồ thị hàm số

b) Ta có: y = (m – 1)x³ + 2(m + 1)x² – x + m – 1               

               y' = 3(m – 1)x² + 4(m + 1)x – 1

               y'' = 6(m – 1)x + 4(m + 1).

               y'' = 0 ⇔\(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\x = \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{{3\left( {m - 1} \right)}}\end{array} \right.\).

Để tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ x₀ = −2.

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\\frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{{3\left( {m - 1} \right)}} = - 2\end{array} \right.\)⇔\(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\2m + 2 = 6m - 6\end{array} \right.\)⇔ m = 2.