Cho hàm số y = g(x) có đồ thị như hình vẽ và đặt f(x) = x tích phân từ 0 đến x của g(t) dt. Gọi S1, S2 và S3 lần lượt là diện tích của các phần hình phẳng được tô màu.

Xét mệnh đề a)

Ta có \(f\left( x \right) = \int\limits_0^x {g\left( t \right){\rm{d}}t}  \Rightarrow f'\left( x \right) = g\left( x \right)\)

Tại \(x = 7\) thì đạo hàm \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 7\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Ta có \(f\left( {10} \right) = \int\limits_0^{10} {g\left( t \right){\rm{d}}t = } \int\limits_0^7 {g\left( t \right){\rm{d}}t}  + \int\limits_7^{10} {g\left( t \right){\rm{d}}t = {S_1} - {S_2}} \) nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Trên khoảng \(\left( {7;\,10} \right)\) thì hàm số \(y = g\left( x \right)\) nằm phía dưới trục hoành

Mặt khác: $g\left(x\right)=f^{\text{'}}\left(x\right)<\mathrm{0,}\forall x\in \left(7;10\right)$ suy ra hàm số nghịch biến nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Xét \(f\left( 0 \right) = 0\).

Khi \(x \in \left( {0;\,7} \right)\) thì \(f\left( x \right)\) đồng biến và \(f\left( 7 \right) = {S_1} > 0\),

Khi \(x \in \left( {7;\,10} \right)\) thì \(f\left( x \right)\) nghịch biến và \(f\left( {10} \right) = {S_1} - {S_2}\)

Khi $x\in \left(10;14\right)$ thì \(f\left( x \right)\) đồng biến cho \(g\left( x \right) > 0\) và từ đồ thị thì \({S_1} > {S_2} \Rightarrow {S_1} - {S_2} > 0\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) chỉ cắt trục hoanh tại điểm duy nhất là \(x = 0\) nên mệnh đề d) sai