Cho hàm số y = g(x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau.

a) Đúng. Dựa vào bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\):

Hàm số không xác định tại \(x = - 2\) và \(x = 0\) (ký hiệu 2 vạch song song).

Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), đạo hàm \(g'\left( x \right) < 0\) nên hàm số nghịch biến.

b) Sai. Tại \(x = 0\), hàm số không xác định nên không thể đạt cực đại tại đây.

c) Đúng. Trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\), hàm số tăng từ \(0\) đến \( + \infty \), luôn nhận giá trị dương. Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), hàm số giảm từ \(1\) về \( - \infty \), đi qua số \(0\). Do đó đồ thị cắt trục hoành tại đúng 1 điểm.

d) Sai. Xét hàm số \(y = \frac{1}{{g\left( x \right) - 1}}\):

Tiệm cận ngang: Khi \(x \to + \infty \), \(g\left( x \right) \to - \infty \Rightarrow y = \frac{1}{{g\left( x \right) - 1}} \to 0\).

Khi \(x \to - {2^ + }\), \(g\left( x \right) \to 0 \Rightarrow y = \frac{1}{{g\left( x \right) - 1}} \to \frac{1}{{0 - 1}} = - 1\).

Vậy đồ thị có 1 đường tiệm cận ngang duy nhất là \(y = 0\) khi \(x \to + \infty \Rightarrow b = 1\).

Tiệm cận đứng: Phương trình mẫu số \(g\left( x \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow g\left( x \right) = 1\).

Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(g\left( x \right)\) giảm từ \(1\) về \( - \infty \), tiến tới \(1\) khi \(x \to {0^ + }\). Do đó \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{_{x \to {0^ + }}} g\left( x \right) = 1 \Rightarrow \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{_{x \to {0^ + }}} y = \pm \infty \Rightarrow x = 0\) là 1 tiệm cận đứng.

Ngoài ra không còn giá trị nào khác làm cho \(g\left( x \right) = 1\). Vậy \(a = 1\).

Do đó \({a^2} + {b^2} = {1^2} + {1^2} = 2 \ne 10\).