Cho hàm số y= f(x) và f(x)> 0, với mọi x thuộc R. Biết hàm số y= f'(x) có bảng biên thiên

Chọn B.

Ta có: g'x=−2x+4m.e−x2+4mx−5.fx+e−x2+4mx−5.f'x

⇔g'x=−2x+4m.fx+f'x.e−x2+4mx−5.

Yêu cầu bài toán ⇔g'x≥0,∀x∈−1;12 và g'(x) = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc −1;12.

⇔−2x+4m.fx+f'x≥0,∀x∈−1;12 (vì e−x2+4mx−5>0)

⇔−2x+4m≥−f'xfx,∀x∈−1;12, (vì fx>0,∀x∈ℝ)

⇔4m≥2x−f'xfx,∀x∈−1;12 *.

Xét hx=2x−f'xfx,∀x∈−1;12. Ta có h'x=2−f"x.fx−f'x2f2x.

Mà f"x<0fx>0,∀x∈−1;12⇒f"x.fx−f'x2f2x<0,∀x∈−1;12.

Từ đó suy ra h'x>0,∀x∈−1;12. Vậy hàm số h(x) đồng biến trên −1;12.

Bảng biến thiên:

Vậy điều kiện *⇔4m≥h12⇔4m≥2.12−f'12f12⇔4m≥225137⇔m≥225548.

Lại có m∈ℤm∈−2020;2020⇒m∈1;2;3;...;2020.

Vậy có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.