Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R thỏa mãn tích phân từ pi/4 đến pi/2 cotx. f(sin^2x) dx = tích phân từ 1 đến 16 f(căn x)/x dx = 1 . Tính tích phân .

Chọn A.

Đặt t=sin2x⇒dt=2sinxcosxdx. Ta có x=π4⇒t=12;x=π2⇒t=1.

Khi đó 1=∫π4π2cotx.fsin2xdx=12∫π4π22sinxcosxsin2x.fsin2xdx=12∫121f(t)tdt=12∫121f(x)xdx 

⇒∫121f(x)xdx=2

Đặt u=x⇒2udu=dx⇒dxx=2duu. Ta có x=1⇒u=1;x=16⇒u=4.

Khi đó 1=∫116f(x)xdx=∫142f(u)udu=2∫14f(x)xdx⇒∫14f(x)xdx=12.

Đặt v=4x⇒dv=4dx. Ta có x=18⇒v=12;x=1⇒v=4.

Vậy I=∫181f(4x)xdx=∫181f(4x)4x4dx=∫124f(v)vdv=∫124f(x)xdx=∫121f(x)xdx+∫14f(x)xdx=2+12=52.