Cho hàm số y = f(x)  có f'(x) = x(x+1)(x^2-2mx+1), với mọi x thuộc R với m  là tham số thực. Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên m  không vượt quáq 2023

Đáp án đúng là: A.

gx=fx2−1⇒g'x=2x⋅f'x2−1=2xx2−1x2x2−12−2mx2−1+1

Ta có ⇔x=0x2−1=0x2=0x2−12−2mx2−1+1=0⇔x=0x=±1x2−12−2mx2−1+1=0.

Để hàm số gx=fx2−1 có 7 điểm cực trị thì phương trình x2−12−2mx2−1+1=0 phải có 4 đơn nghiệm phân biệt khác x = 0, x=±1.

Xét phương trình x2−12−2mx2−1+1=0

Đặt t=x2−1, khi đó ta được phương trình t2−2mt+1=0 với t≥−1.

Với t>−1 ta có hai nghiệm x ,

Với t = -1 ta có nghiệm x = 0,

Với t < -1 phương trình vô nghiệm.

Nên để x2−12−2mx2−1+1=0 có 4 đơn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình t2−2mt+1=0 có hai nghiệm phân biệt 0≠t>−1.

Ta có t2−2mt+1=0⇔2m=t+1t.

Xét hàm số ht=t+1t, ta có h't=1−1t2=0⇔t=±1.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, phương trình t2−2mt+1=0 có hai nghiệm phân biệt 0≠t>−1  khi m > 2 .