Cho hàm số y = f(x) có đồ thị y = f'(x) như hình vẽ:

49/235

Có tất cả các giá trị nguyên của m với $m \in [- 2025; 2025]$ để hàm số $g (x) = f (x - 1) - (2 m + 1)$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ ? (nhập đáp án vào ô trống )

Đáp án: _____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án đúng là "2023"

Phương pháp giải

Khảo sát và dùng điều kiện để hàm số đồng biến đánh giá hàm $g\left( x \right)$, xác định hàm $f'\left( x \right)$, cô lập $m$

Lời giải

$g'\left( x \right) = f'\left( {x - 1} \right) - \left( {2m + 1} \right)$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$

$ \Leftrightarrow f'\left( {x - 1} \right) - 2m - 1 \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$ (1)

Ta có:

Đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ có dạng đồ thị hàm bậc 3

$ \Rightarrow $ phương trình $y = f'\left( x \right)$ có dạng: $y = f'\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ với $a \ne 0$

Đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ: $\left( { - 2;2} \right),\left( {0; - 1} \right),\left( {1;2} \right)$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 8a + 4b - 2c + d = 2}\\{0.a + 0.b + 0.c + d = - 1}\\{a + b + c + d = 2}\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d = - 1}\\{ - 8a + 4b - 2c = 3}\\{a + b + c = 3}\end{array}} \right.$ (*)

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có tọa độ: $\left( { - 2;2} \right),\left( {0; - 1} \right) \Rightarrow x = - 2$ là nghiệm của phương trình $y' = 0$

Có: $y' = 3a{x^2} + 2bx + c \Rightarrow 12a - 4b + c = 0$ (**)

Từ $\left( {\rm{*}} \right),\left( {{\rm{**}}} \right)$ ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 8a + 4b - 2c = 3}\\{a + b + c = 3}\\{12a - 4b + c = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{3}{4}}\\{b = \frac{9}{4}}\\{c = 0}\end{array}} \right.} \right.$

$ \Rightarrow y = f'\left( x \right) = \frac{3}{4}{x^3} + \frac{9}{4}{x^2} - 1$

$ \Rightarrow f'\left( {x - 1} \right) = \frac{3}{4}{(x - 1)^3} + \frac{9}{4}\left( {x - 1} \right) - 1 = \frac{3}{4}{x^3} - \frac{9}{4}{x^2} + \frac{9}{2}x - 4$

$ \Rightarrow $ Bất phương trình (1)

$ \Leftrightarrow \frac{3}{4}{x^3} - \frac{9}{4}{x^2} + \frac{9}{2}x - 4 - 2m - 1 \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow \frac{3}{4}{x^3} - \frac{9}{4}{x^2} + \frac{9}{2}x - 5 - 2m \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$

Xét hàm số: $h\left( x \right) = \frac{3}{4}{x^3} - \frac{9}{4}{x^2} + \frac{9}{2}x - 5$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$

$ \Rightarrow h\left( x \right) - 2m \ge 0 \Leftrightarrow h\left( x \right) \ge 2m,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$

$h'\left( x \right) = \frac{9}{4}{x^2} - \frac{9}{2}x + \frac{9}{2}$

Ta thấy: $h'\left( x \right) > 0\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow $ Hàm số $y = h\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$

Bảng biến thiên hàm số $y = h\left( x \right)$:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: $2m \le - 5 \Leftrightarrow m \le \frac{{ - 5}}{2}$

Mà $m \in \left[ { - 2025;2025} \right] \Rightarrow $ Có tất cả 2023 giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.