Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ.

Đáp án đúng là "2025"

Phương pháp giải

Đặt \(1 - 4x = t\)

Lời giải

Xét đạo hàm \(y' =  - 4f'\left( {1 - 4x} \right) - 16mx + 8m\).

Theo yêu cầu đề bài thì

\(y' \le 0,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow  - 4f'\left( {1 - 4x} \right) - 16mx + 8m \le 0,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow f'\left( {1 - 4x} \right) \ge 2m\left( {1 - 2x} \right),\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) (1)

Đặt \(1 - 4x = t,x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) thì \(t \in \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow 1 - 2x = \frac{{t + 1}}{2}\)

Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f'\left( t \right) \ge mt + m,\forall t \in \left( { - 1,1} \right)\)

Xét đường thẳng \(d:y = mt + m\) có hệ số góc \(k = m\), và đi qua điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\)

Để \(f'\left( t \right) \ge mt + m,\forall t \in \left( { - 1;1} \right)\) thì \(m \le \frac{{{y_B} - {y_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} =  - 1\) với \(B\left( {1; - 1} \right)\)

Vậy \(m \in \left[ { - 2025; - 1} \right]\)