Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm

Đáp án đúng là "15"

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số

Lời giải

Xét hàm số: \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\)

\[f'(x) = {(x - 1)^2}x(x - 2)\]

\[ \Rightarrow g'(x) = (2x - 8).f'\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\]

\[ = (2x - 8){\left( {{x^2} - 8x + m - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\left( {{x^2} - 8x + m - 2} \right)\]

\[g'(x) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{{{\left( {{x^2} - 8x + m - 1} \right)}^2} = 0\,\,\,(1)}\\{\left( {{x^2} - 8x + m} \right) = 0\,\,\,(2)}\\{\left( {{x^2} - 8x + m - 2} \right) = 0\,\,(3)}\end{array}} \right.\].

Các phương trình (1), (2), (3) không có nghiệm chung từng đôi một và nếu có các nghiệm thì nghiệm ấy cũng là nghiệm bội chẵn.

\( \Rightarrow g\left( x \right)\) có 5 điểm cực trị \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\left( 3 \right)\) đều có hai nghiệm phân biệt khác 4

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{16 - m > 0}\\{16 - m + 2 > 0}\\{16 - 32 + m \ne 0}\\{16 - 32 + m - 2 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 16}\\{m < 18}\\{m \ne 16}\\{m \ne 18}\end{array} \Rightarrow m < 16} \right.} \right.\)

Vì \(m\) nguyên dương và \(m < 16\) nên có 15 giá trị \(m\) cần tìm