Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên

21/235

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), biết \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {2 - x} \right)\). Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

\(\left( { - \infty ;2} \right)\).

\(\left( {1;2} \right)\).

\(\left( {2; + \infty } \right)\).

\(\left( {3; + \infty } \right)\).

Giải thích

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Sử dụng định lý quan hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(K\). Nếu \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in K\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\). Nếu \(f'\left( x \right) < 0,\forall x \in K\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(K\).

Lời giải

\(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {2 - x} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){(x - 3)^2}\left( {2 - x} \right)\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\left( n \right) \vee x = 3\left( l \right) \vee x = 2\left( n \right)\)

BBT

Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên (ảnh 1)

Dựa vào BBT, hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).