Cho hàm số y = f(x) xác định trên R và có đạo hàm f'(x) = 3x^2 + cos x. Biết rằng f(0) = 2 và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(0) = 1.

Xét mệnh đề a)

Ta có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)\,} dx = \int {\left( {3{x^2} + \cos x} \right)\,dx = {x^3} + \sin x + C} \)

Theo giả thiết \(f\left( 0 \right) = 2 \Leftrightarrow {0^3} + \sin 0 + C = 2 \Rightarrow C = 2\)

Khi đó \(f\left( x \right) = {x^3} + \sin x + 2\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)\,dx = \int {\left( {{x^3} + \sin x + 2} \right)\,dx = \frac{{{x^4}}}{4}} }  - \cos x + 2x + C'\)

Theo giả thiết \(F\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{{0^4}}}{4} - \cos 0 + 2.0 + C' = 1 \Rightarrow C' = 2\)

Khi đó \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \cos x + 2x + 2\) nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Xét đạo hàm \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + \cos x\) và luôn có \(\cos x \ge  - 1\,\forall x \in \mathbb{R}\)

Nếu \(\left| x \right| \ge 1\) thì \(3{x^2} \ge 3\, \Rightarrow f'\left( x \right) \ge 3 - 1 = 2 > 0\).

Nếu \(\left| x \right| < 1\), ta xét hàm \(g\left( x \right) = 3{x^2} + \cos x\)có \(g'\left( x \right) = 6x - \sin x\).

Vì \(\left| {\sin x} \right| \le \left| x \right|\)nên với \(x > 0 \Rightarrow 6x > \sin x \Rightarrow g'\left( x \right) > 0\) ; với \(x < 0 \Rightarrow g'\left( x \right) < 0\).

Do đó \(g\left( x \right)\)đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 0\) nên Giá trị nhỏ nhất là \(f'\left( 0 \right) = 3{\left( 0 \right)^2} + \cos \left( 0 \right) = 1\)

Vì \(f'\left( x \right) \ge 1\, > 0\,\forall x \in \mathbb{R}\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\)luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\)nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Hàm số \(f\left( x \right)\)là hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Giới hạn của hàm số: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty \)

Kết hợp với việc hàm số luôn đồng biến ( tăng liên tục từ \( - \infty \)đến \( + \infty \)), đồ thị hàm số chắc chắn cắt trục hoành tại duy nhất một điểm nên mệnh đề d) đúng