Cho hàm số y = f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x + 3(C). Tồn tại hai tiếp tuyến của

11/35

Cho hàm số f(x)=x3+6x2+9x+3C. Tồn tại hai tiếp tuyến của (C) phân biệt và có cùng hệ só góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA = 2017.OB. Hỏi có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán?

Giải thích

Đáp án D

Gọi M1x1;f(x1);M2x2;f(x2) là hai tiếp điểm mà tại đó tiếp tuyến có cùng hệ số góc

Ta có: y'=3x2+12x+9

Khi đó:

k=3x12+12x1+9=3x22+12x2+9⇔x1−x2x1+x2+4⇔x1+x2=−4=S1

Hệ số góc của đường thẳng M1M2 là:

k'=±OAOB=±12017=fx2−fx1x2−x1⇔±12017=x1+x22−x1x2+6x1+x2+9⇔x1x2=20162017=Px1x2=20182017=P2

Với x1+x2=−4=Sx1x2=20162017=P, do S2>4P nên ∃ hai cặp x1,x2⇒∃1 giá trị k

Với x1+x2=−4=Sx1x2=20182017=P, do S2>4P nên ∃ hai cặp x1,x2⇒∃1 giá trị k

Kết luận: có 2 giá trị k