Cho hàm số y= f(x) = - {x^3} + 3{x^2} - 4 có đồ thị là

19/22

Cho hàm số \[\]\[y = f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} - 4\] có đồ thị là \[\left( C \right)\]. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của \[\left( C \right)\] là đồ thị hàm số \[g\left( x \right) = ax + b\]. Gọi \[M,{\rm{ }}m\] lần lượt là giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm \[h\left( x \right) = \sqrt { - x\left( {ax + b} \right)} \]. Tính giá trị \[\sqrt 8 \left( {300M - 20m} \right)\].

Giải thích

Đáp án: 1200.

\[y = f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} - 4 \Rightarrow y' = - 3{x^2} + 6x\]

\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \] đồ thị \[\left( C \right)\] có 2 điểm cực trị là \[A\left( {0; - 4} \right)\] và \[B\left( {2;0} \right)\].

\[ \Rightarrow \] Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có vecto chỉ phương là \[\overrightarrow {AB} = \left( {2;4} \right) \Rightarrow \] có vecto pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right) \Rightarrow g\left( x \right) = 2x - 4\].

Khi đó \[h\left( x \right) = \sqrt { - x\left( {2x - 4} \right)} \].

Xét hàm số \[h\left( x \right) = \sqrt {4x - 2{x^2}} \]. Tập xác định: \[D = \left[ {0;2} \right]\].

\[h'\left( x \right) = \frac{{ - 4x + 4}}{{2\sqrt { - x\left( {2x - 4} \right)} }} = \frac{{ - 2x + 2}}{{\sqrt { - x\left( {2x - 4} \right)} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left( {0;2} \right)\].

\[\left\{ \begin{array}{l}h\left( 0 \right) = 0\\h\left( 1 \right) = \sqrt 2 \\h\left( 2 \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} h\left( x \right) = 0;{\rm{ }}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} h\left( x \right) = \sqrt 2 \].

\[\sqrt 8 \left( {300M - 20m} \right) = \sqrt 8 \left( {300\sqrt 2 - 20.0} \right) = 1200\].