Cho hàm số: y = f(x)= x^3 -3x +1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

57/235

Cho hàm số: $y = f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $f (\sin x + 1) = m$ có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc $[- π; \frac{3 π}{2}]$ ? (Nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án: __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án đúng là "1"

Phương pháp giải

Thay $x = {\rm{sin}}x + 1$ vào hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1$. Khảo sát hàm vừa nhận được

Lời giải

Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( {{\rm{sin}}x + 1} \right) = {({\rm{sin}}x + 1)^3} - 3\left( {{\rm{sin}}x + 1} \right) + 1 = {\rm{si}}{{\rm{n}}^3}x + 3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - 1$

Ta có: $g'\left( x \right) = 3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x.{\rm{cos}}x + 6{\rm{sin}}x.{\rm{cos}}x = 3{\rm{sin}}x.{\rm{cos}}x\left( {{\rm{sin}}x + 2} \right)$.

Với $x \in \left[ { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$ thì $g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ { - \pi ;\frac{{ - \pi }}{2};0;\frac{\pi }{2};\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right\}$.

Ta có bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình $f\left( {{\rm{sin}}x + 1} \right) = m$ có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc $\left[ { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$ khi $ - 1 < m < 1$ mà $m \in \mathbb{Z}$ nên $m = 0$