Cho hàm số y = f(x) = x^2 - mx/x^2 + mx + m^2 + 1

Phương pháp giải:

Xét dấu đạo hàm của hàm số.

Giải chi tiết:

Mẫu số luôn dương với mọi \(x\) vì:

                       \[{x^2} + mx + {m^2} + 1 = {\left( {x + \frac{m}{2}} \right)^2} + \frac{{3{m^2}}}{4} + 1 > 0.\]

Ta có:

\[f'(x) = \frac{{(2x - m)({x^2} + mx + {m^2} + 1) - (2x + m)({x^2} - mx)}}{{{{({x^2} + mx + {m^2} + 1)}^2}}}.\]

Suy ra:

\[f'(x) = \frac{{2m{x^2} + 2({m^2} + 1)x - m({m^2} + 1)}}{{{{({x^2} + mx + {m^2} + 1)}^2}}}.\]

Đặt:

                                   \[g(x) = 2m{x^2} + 2({m^2} + 1)x - m({m^2} + 1).\]

Để \(f'(x) \ge 0\) trên \((0;2)\) thì cần \(g(x) \le 0\) với mọi \(x \in (0;2)\).

Xét điều kiện tại hai đầu mút:

                              \[g(0) = - m({m^2} + 1) \le 0\quad \Rightarrow \;m \ge 0,\]

                                     \[g(2) = 8m + 4({m^2} + 1) - m({m^2} + 1) \le 0.\]

Giải bất đẳng thức trên với \(m \in \mathbb{Z},\;0 \le m < 10\),ta được \(4\) giá trị thỏa mãn.

Đáp án cần điền: 4.