Cho hàm số y = f(x) = (x^2 + bx + c)/(mx) có đồ thị C. Biết C đi qua hai điểm A (1;1) và B(5;1)

18/22

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + bx + c}}{{mx}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;1} \right)\) và \(B\left( {5;1} \right)\) và tiệm cận xiên của đồ thị \(\left( C \right)\) có hệ số góc bằng \( - \frac{1}{2}\). Tính \(f\left( { - 1} \right)\).

Đáp số: __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta viết lại hàm số dưới dạng: \(y = \frac{1}{m}x + \frac{b}{m} + \frac{c}{{mx}}\).

Khi \(x \to \infty \), phần \(\frac{c}{{mx}} \to 0\), nên tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = \frac{1}{m}x + \frac{b}{m}\).

Theo giả thiết, hệ số góc của tiệm cận xiên bằng \( - \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{m} = - \frac{1}{2} \Rightarrow m = - 2\).

Hàm số trở thành: \(y = \frac{{{x^2} + bx + c}}{{ - 2x}}\).

Vì đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua \(A\left( {1;1} \right)\) và \(B\left( {5;1} \right)\), ta có

\(1 = \frac{{{1^2} + b \cdot 1 + c}}{{ - 2 \cdot 1}} \Rightarrow 1 + b + c = - 2 \Rightarrow b + c = - 3\) (1) và \(1 = \frac{{{5^2} + b \cdot 5 + c}}{{ - 2 \cdot 5}} \Rightarrow 25 + 5b + c = - 10 \Rightarrow 5b + c = - 35\) (2).

Trừ phương trình (2) cho phương trình (1): \(4b = - 32 \Rightarrow b = - 8\).

Thay \(b = - 8\) vào (1): \( - 8 + c = - 3 \Rightarrow c = 5\).

Vậy hàm số hoàn chỉnh là: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 8x + 5}}{{ - 2x}}\).

Tính \(f\left( { - 1} \right)\): \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - 8 \cdot \left( { - 1} \right) + 5}}{{ - 2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = \frac{{1 + 8 + 5}}{2} = \frac{{14}}{2} = 7\).

Đáp số: 7.