Cho hàm số y = f(x) = (x^2 − 3x + 6)/(x − 2).

Ta có thể thực hiện phép chia đa thức để viết lại hàm số dưới dạng:\(f\left( x \right) = x - 1 + \frac{4}{{x - 2}}\)

Xét mệnh đề a)

Ta có:\(f\left( x \right) - x + 1 = \left( {x - 1 + \frac{4}{{x - 2}}} \right) - x + 1 = \frac{4}{{x - 2}}\) suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{4}{{x - 2}} = 0\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Tiệm cận đứng: \(x = 2\)và tiệm cận xiên:\(y = x - 1\).

Giao điểm \(I\)của hai tiệm cận là nghiệm của hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 2 - 1 = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow I\left( {2;1} \right)\)

Tâm đối xứng \(I\left( {2;1} \right)\) không nằm trên trục tung nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Tính đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.\)

Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta thấy \(\left( {0;2} \right)\) đạo hàm mang dấu trừ nên hàm số nghịch biến nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Để\(x,y \in \mathbb{Z}\) thì \(\frac{4}{{x - 2}}\) phải là số nguyên.

Điều này xảy ra khi \(\left( {x - 2} \right)\) là ước của 4. Ước của 4 gồm: \( \pm 1; \pm 2; \pm 4\)

Với \(x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow \left( {3;6} \right)\)

Với\(x - 2 =  - 1 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow y =  - 4 \Rightarrow \left( {1; - 4} \right)\)

Với\(x - 2 = 2 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow y = 5 \Rightarrow \left( {4;5} \right)\)

Với\(x - 2 =  - 2 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y =  - 3 \Rightarrow \left( {0; - 3} \right)\)

Với\(x - 2 = 4 \Rightarrow x = 6 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow \left( {6;6} \right)\)

Với\(x - 2 =  - 4 \Rightarrow x =  - 2 \Rightarrow y =  - 4 \Rightarrow \left( { - 2; - 4} \right)\)

Như vậy, có tất cả 6 điểm có tọa độ nguyên nên mệnh đề d) sai