Cho hàm số y = f(x) = (x^2 + 3x + 5)/(x - 1) có đồ thị (C). Khi đó:

15/22

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 5}}{{x - 1}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Khi đó

$y' = f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}};\,\forall x \ne 1$.

ĐúngSai

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình $y = x + 3$.

ĐúngSai

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $\left( C \right)$ bằng $6\sqrt 5 $.

ĐúngSai

Gọi $M$ là một điểm trên đồ thị. Tiếp tuyến tại $M$ tạo với hai đường tiệm cận của $\left( C \right)$ một tam giác có diện tích bằng $18$.

ĐúngSai

Giải thích

a) Ta có

$y' = f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 3x + 5} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$$ = \frac{{2{x^2} - 2x + 3x - 3 - {x^2} - 3x - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$, $x \ne 1$

b) Ta có $y = \frac{{{x^2} + 3x + 5}}{{x - 1}} = x + 4 + \frac{9}{{x - 1}}$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {y - \left( {x + 4} \right)} \right] = 0$ nên tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng $y = x + 4$.

c) Ta có $y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 4\end{array} \right.$

Bảng biến thiên

$+ Vì $H \in (P)$, ta thay tọa độ của $H$ vào phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\]: (ảnh 1)$

Đồ thị có hai điểm cực trị là $A\left( { - 2; - 1} \right),B\left( {4;11} \right)$

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là $AB = \sqrt {{{\left( {4 + 2} \right)}^2} + {{\left( {11 + 1} \right)}^2}} = 6\sqrt 5 $.

d) Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số ${x_0} \ne 1,{y_0} = {x_0} + 4 + \frac{9}{{{x_0} - 1}}$.

Hệ số góc của tiếp tuyến $k = y'\left( {{x_0}} \right) = \frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 8}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}$

Phương trình tiếp tuyến là $y = \frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 8}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + {x_0} + 4 + \frac{9}{{{x_0} - 1}}$

Đồ thị có hai đường tiệm cận là $x = 1,y = x + 4$

Giao của tiếp tuyến và tiệm cận đứng:

Cho $x = 1$ $ \Rightarrow y = \frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 8}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {1 - {x_0}} \right) + {x_0} + 4 + \frac{9}{{{x_0} - 1}}$$ = \frac{{5{x_0} + 13}}{{{x_0} - 1}}$$ \Rightarrow M\left( {1;\frac{{5{x_0} + 13}}{{{x_0} - 1}}} \right)$

Giao của tiếp tuyến và tiệm cận xiên:

Xét phương trình hoành độ: $x + 4 = \frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 8}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}x + \frac{{4x_0^2 + 10{x_0} - 5}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}$

$ \Leftrightarrow x = 2{x_0} - 1$$ \Rightarrow y = 2{x_0} + 3$ $ \Rightarrow N\left( {2{x_0} - 1;2{x_0} + 3} \right)$

Ta có tam giác $IMN$, $I\left( {1;5} \right)$ là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Ta tìm góc giữa tiệm cận đứng và tiệm cận xiên

Gọi góc giữa hai đường tiệm cận là $\varphi $, ta có vec tơ chỉ phương của hai đường tiệm cận là $\overrightarrow u = \left( {1;0} \right),\overrightarrow v = \left( {1; - 1} \right)$ nên $\cos \varphi = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi = 45^\circ $.

Ta có góc $\widehat {MIN}$$ = 45^\circ $, $IM = \left| {\frac{{5{x_0} + 13}}{{{x_0} - 1}} - 5} \right| = \frac{{18}}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}$, $IN = \sqrt {{{\left( {2{x_0} - 2} \right)}^2} + {{\left( {2{x_0} - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 \left| {{x_0} - 1} \right|$

Diện tích tam giác $IMN$ là ${S_{IMN}} = \frac{1}{2}IM.IN.\sin \widehat {MIN} = \frac{1}{2}.\frac{{18}}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}.2\sqrt 2 \left| {{x_0} - 1} \right|.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 18$.