Cho hàm số y = f(x) = (x^2 + 2x + 2)/(x + 1).

Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta có \(y' = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

a) \(M\) là giao điểm của đồ thị và trục tung nên \({x_M} = 0\) , suy ra \({y_M} = 2\), \(y'({x_M}) = 0\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại \(M\): \(y = 2\).

c) Vì \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - {1^ + }} {\rm{ }}f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}} =  + \infty \)  nên \(x =  - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Lại có \(y = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}\)

 \( \Rightarrow \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } {\rm{ }}\left[ {f\left( x \right) - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0\,\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - \infty } {\rm{ }}\left[ {f\left( x \right) - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0\,\) nên \(y = x + 1\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Giao điểm hai đường tiệm cận là \(I\left( { - 1;0} \right)\), suy ra tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \(I\left( { - 1;0} \right)\).

d) Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.\). Lập bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là \(\left( {0;\,2} \right)\) và \(\left( { - 2;\, - 2} \right)\), hai điểm này nằm về hai phía đối với trục hoành.