Cho hàm số y = f(x) = (m+2)/3x3 + 2x^2 + (m + 2)x + 1 (m là tham số). Tìm m để đồ thị hàm số không có cực trị.

Ta có: y = f(x) = \(\frac{{m + 2}}{3}\)x³ + 2x² + (m + 2)x + 1

Tập xác định: D = ℝ.

TH1: \(\frac{{m + 2}}{3}\) = 0 ⇔ m = \( - \frac{2}{3}\).

Ta có: y = f(x) = 2x² + \(\frac{4}{3}\)x + 1

           y' = 4x + \(\frac{4}{3}\)

           y' = 0 ⇔ x = \( - \frac{1}{3}\).

Vậy với m = \( - \frac{2}{3}\) hàm số có 1 cực trị.

Do đó, m = \( - \frac{2}{3}\) loại.

TH 2: \(\frac{{m + 2}}{3}\) ≠ 0 ⇔ m ≠ \( - \frac{2}{3}\).

Ta có: y = f(x) = \(\frac{{m + 2}}{3}\)x³ + 2x² + (m + 2)x + 1

           y' = (m + 2)x² + 4x + m + 2

Để hàm số không có cực trị thì (−2)² – (m + 2)(m + 2) ≤ 0 ⇔ (m + 2)² ≥ 4.

Suy ra m ≥ 0 hoặc m ≤ −4.