Cho hàm số y = f(x) = (m – 1)x^3 + 2x + 1 với m là tham số. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Đúng.

a) Đúng. Với mọi m thì y = f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ

b) Sai. Khi \(m = \frac{1}{2}\) ta có y = f(x) =\( - \frac{1}{2}{x^3} + 2x + 1\) đây là hàm liên tục trên [-1; 0] và [0; 3].

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = - \frac{1}{2}\\f\left( 0 \right) = 1\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 1} \right) \cdot f\left( 0 \right) < 0\) nên f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (-1; 0).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 1\\f\left( 3 \right) = - \frac{{13}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 0 \right) \cdot f\left( 3 \right) < 0\) nên f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (0; 3).

Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm trên (-1; 3).

c) Đúng. Hàm số y = f(x) là hàm liên tục trên ℝ

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = - m\\f\left( 1 \right) = m + 2\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 1} \right) \cdot f\left( 1 \right) = - m\left( {m + 2} \right) < 0,\forall m \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\)

Suy ra f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (-1; 1) với mọi \(m \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\)

d) Đúng. Hàm số y = f(x) là hàm liên tục ℝ và f(0) = 1 > 0.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {m - 1} \right){x^3} + 2x + 1} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( {m - 1 + \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty \) do m < 1

Khi đó, tồn tại số a > 0 sao cho f(a) < 0

Suy ra f(0).f(a) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (0; a).

Suy ra m < 1 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm dương.