Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn 5 fx - 7f 1 -x = 4x - 6x 2 với mọi x thuộc R. Biết rằng tích phân từ 2 đến 3 f'x ^2 dx = a/b trong đó a/b là phân số tối giản. Tính

Chọn A

Thay x = 1 - x vào 5f(x)−7f(1−x)=4x−6x2(1),∀x∈ℝ, ta được

5f(1−x)−7f(x)=4(1−x)−6(1−x)2(2)

Từ (1)&(2)⇒5f(x)−7f(1−x)=4x−6x25f(1−x)−7f(x)=4(1−x)−6(1−x)2⇔f(1−x)=57f(x)−47x+67x2(3)5f(1−x)−7f(x)=4(1−x)−6(1−x)2.

Thay (3) vào (2):5⋅57f(x)−47x+67x2−7f(x)=4(1−x)−6(1−x)2

⇔−24f(x)−20x+30x2=−14+56x−42x2⇔f(x)=3x2−196x+712.

Từ f(x)=3x2−196x+712⇒f'(x)=6x−196.

Khi đó ∫23f'(x)2dx=∫236x−1962dx=514936⇒a=5149 b=36⇒a−143 b=1.