Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R

Từ đồ thị hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\) ta thấy hàm số có các cực trị \(x = - 1;x = 1\).

Đặt \(t = 2\sin x \Rightarrow t' = 2\cos x\); \(t' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì \(x \in \left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) nên \(t \in \left[ { - 2;2} \right]\), khi đó, \(t' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2}\) hoặc \(x = \frac{{3\pi }}{2}\).

Ta có bảng biến thiên sau:

Phương trình \(f\left( {2\sin x} \right) = f\left( m \right)\) có 5 nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) khi \( - 3 < f\left( m \right) \le f\left( 0 \right)\).

Từ đồ thị hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\), ta thấy:

\( - 3 < f\left( m \right) \le f\left( 0 \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = a \in \left( { - 2; - 1} \right)\\m = b \in \left[ {0;\,1} \right)\\m = c \in \left( {1;2} \right)\end{array} \right.\).

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 0\). Vậy có \(1\) giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.