Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f (căn bậc hai 4 + 2f(cos x) = m có nghiệm x thuộc [0;pi/2).
12/35
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt {4 + 2f\left( {\cos x} \right)} } \right) = m\) có nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(3\).
\(5\).
\(4\).
\(2\).
Lời giải
Đặt \(t = \cos x\). Do \[x \in \left[ {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\] nên \(t \in \left( {0;1} \right]\) \( \Rightarrow f\left( t \right) \in \left[ { - 2;0} \right)\).
\( \Rightarrow \sqrt {4 + 2f\left( {\cos x} \right)} = \sqrt {4 + 2f\left( t \right)} \in \left[ {0;2} \right)\)\( \Rightarrow f\left( {\sqrt {4 + 2f\left( {\cos x} \right)} } \right) \in \left[ { - 2;2} \right)\).
Vậy phương trình \(f\left( {\sqrt {4 + 2f\left( {\cos x} \right)} } \right) = m\) có nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)\( \Leftrightarrow - 2 \le m < 2\).
Do \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1} \right\}\).
Vậy có bốn giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt {4 + 2f\left( {\cos x} \right)} } \right) = m\) có nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Chọn C.