Cho hàm số y =f(x) liên tục trên R. Bảng biến thiên của hàm số y = f'(x) như sau
9/235
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Bảng biến thiên của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như sau
Tìm \(m\) để bất phương trình \(m + {x^2} \le f\left( x \right) + \frac{1}{3}{x^3}\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {0;3} \right)\).
\(m < f\left( 0 \right)\).
\(m < f\left( 1 \right) - \frac{2}{3}\).
\(m \le f\left( 0 \right)\).
\(m \le f\left( 3 \right)\).
Đáp án đúng là C
Phương pháp giải
Cô lập m
Lời giải
Ta có \(m + {x^2} \le f\left( x \right) + \frac{1}{3}{x^3} \Leftrightarrow m \le f\left( x \right) + \frac{1}{3}{x^3} - {x^2}\)
Xét hàm \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + \frac{1}{3}{x^3} - {x^2}\) trên \(\left( {0;3} \right)\)
\(h'\left( x \right) = f'\left( x \right) + {x^2} - 2x\)
Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(1 < f'\left( x \right) \le 3,\forall x \in \left( {0;3} \right)\)
Khảo sát hàm số \(y = {x^2} - 2x\) ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có \( - 1 \le {x^2} - 2x < 3\) với mọi \(x \in \left( {0;3} \right)\)
\( \Rightarrow h'\left( x \right) = f'\left( x \right) + {x^2} - 2x > 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \(x = 0\), liên tục trên \(\left[ {0;3} \right)\). Do đó
\(h\left( x \right) = f\left( x \right) + \frac{1}{3}{x^3} - {x^2}\) cũng liên tục trên \(\left[ {0;3} \right)\). Bảng biến thiên:
Phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {0;3} \right) \Leftrightarrow m \le f\left( 0 \right)\) vậy \(m \le f\left( 0 \right)\)