Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-1;4] và có đồ thị là các đoạn thẳng như hình vẽ dưới:
13/22
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;\,4} \right]\) và có đồ thị là các đoạn thẳng như hình vẽ dưới:
\(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 3} \)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 2\) bằng \(\frac{1}{2}\)(đvdt)
Hàm số \(g\left( x \right) = - f\left( x \right) + 2026\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;\,0} \right)\)
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;\,4} \right]\) thỏa mãn \(F\left( { - 1} \right) = 0\) thì giá trị lớn nhất của hàm số \(F\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;\,4} \right]\) bằng \(\frac{{11}}{3}\).
Từ đồ thị ta có :
Trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\), đường thẳng đi qua \(A\left( { - 1;0} \right)\) và \(B\left( {0;2} \right) \Rightarrow f\left( x \right) = 2x + 2\).
Trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\), đường thẳng nằm ngang đi qua \(B\left( {0;2} \right)\)và \(C\left( {1;2} \right) \Rightarrow f\left( x \right) = 2\).
Trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\), đường thẳng đi qua \(C\left( {1;2} \right)\) và \(D\left( {2; - 1} \right) \Rightarrow f\left( x \right) = - 3x + 5\).
Trên đoạn \[\left[ {2;4} \right]\], đường thẳng nằm ngang đi qua \(D\left( {2; - 1} \right)\)và \(E\left( {4; - 1} \right) \Rightarrow f\left( x \right) = - 1\).
Xét mệnh đề a)
\[\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {2x + 2} \right){\rm{d}}x + \int\limits_0^1 {2{\rm{d}}x = } } 3\]nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Diện tích \(S\)được tính bằng công thức: \(S = \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_1^2 {\left| {\left( { - 3x + 5} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \frac{5}{6}\) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Xét đạo hàm của hàm số\(g\left( x \right)\):\(g'\left( x \right) = - f'\left( x \right)\).
Trong khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) thì xác định \(f\left( x \right) = 2x + 2\)\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 2 \Rightarrow g'\left( x \right) = - 2 < 0\,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\)
Vì đạo hàm âm nên hàm số \(g\left( x \right)\)nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\)nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Ta có: \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) và để \[F\left( x \right)\] đạt cực trị thì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right) = 0\).
Dựa vào đồ thị: Trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\): \(f\left( x \right) = - 3x + 5\) cắt trục hoành tại \(x = \frac{5}{3}\)
\(f\left( x \right) > 0\) trên \(\left( { - 1;\frac{5}{3}} \right) \Rightarrow F\left( x \right)\) đồng biến.
\(f\left( x \right) < 0\) trên \(\left( {\frac{5}{3};4} \right) \Rightarrow F\left( x \right)\) nghịch biến.
Khi đó giá trị lớn nhất của \(F\left( x \right)\) đạt được tại \(x = \frac{5}{3}\).
Vậy \({\rm{max }}F\left( x \right) = F\left( {\frac{5}{3}} \right) = \int\limits_{ - 1}^{\frac{5}{3}} {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} + F\left( { - 1} \right) = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x + } \int\limits_1^{\frac{5}{3}} {\left( { - 3x + 5} \right){\rm{d}}x = } 3 + \frac{2}{3} = \frac{{11}}{3}\) nên mệnh đề d) đúng