Cho hàm số y = f(x) là hàm số bậc ba có đồ thị (C) như hình vẽ.
13/22
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số bậc ba có đồ thị \(\left( C \right)\) như hình vẽ.
Gọi \(A,B\) là hai điểm cực trị của \(\left( C \right)\). Khi đó, \(AB = 2\sqrt 5 \).
Hàm số \(y = f\left( {{x^2}} \right)\) có \(2\) điểm cực trị.
Trên \(\left[ { - 2;2} \right]\), hàm số \(f\left( x \right)\) có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 2\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).
Từ đồ thị hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\), ta xác định các thông tin sau:
- Đồ thị có hai điểm cực trị là cực đại \(A\left( {0;2} \right)\) và cực tiểu \(B\left( {2; - 2} \right)\).
- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
a) ĐÚNG. Tọa độ hai điểm cực trị là \(A\left( {0;2} \right)\) và \(B\left( {2; - 2} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(AB\) là:
\(AB = \sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {4 + 16} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \).
b) SAI.Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\). Đạo hàm: \(g'\left( x \right) = 2x \cdot f'\left( {{x^2}} \right)\).
Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{f'\left( {{x^2}} \right) = 0}\end{array}} \right.\).
Từ đồ thị của \(f\left( x \right)\), ta có \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 0\) hoặc \(t = 2\). Do đó: \(f'\left( {{x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 0}\\{{x^2} = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = \pm \sqrt 2 }\end{array}} \right.\).
Vậy các nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) là:
- \(x = 0\) (nghiệm bội ba, do xuất hiện từ \(2x = 0\) và nghiệm kép \({x^2} = 0\) của \(f'\left( {{x^2}} \right) = 0\)). Đạo hàm đổi dấu khi qua \(x = 0\).
- \(x = \pm \sqrt 2 \) (các nghiệm đơn, đạo hàm đổi dấu).
Suy ra hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng \(3\) điểm cực trị (\(x = 0,x = \sqrt 2 ,x = - \sqrt 2 \)).
c) SAI. Trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\), vẽ đường thẳng \(x = 2\), ta thấy đường thẳng này cắt đồ thị tại điểm có tung độ nhỏ hơn \( - 2\) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) nhỏ hơn \( - 2\).
d) SAI. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) chứ không phải trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).
Lưu ý: Từ đồ thị, ta có thể tìm ra chính xác công thức của hàm số \(f\left( x \right)\), từ đó cũng có thể suy ra được các yêu cầu của bài toán.