Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

103/234

Cho hàm số $y = f(x)$. Hàm số $y = f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Biết \[f( - 1) = \frac{{13}}{4}, f(2) = 6.\]

Giá trị lớn nhất của hàm số \[g(x) = {f^3}(x) - 3f(x)\] trên đoạn $[ - 1;2]$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: ________

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm $g'(x)$ và lập bảng biến thiên của $g(x)$ dựa vào đồ thị $y = f'(x)$.

Giải chi tiết:

$Cho hàm số $y = f(x)$. Hàm số $y = f'(x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. (ảnh 1)$

Từ đồ thị $y = f'(x)$ và giả thiết $f( - 1) = \frac{{13}}{4}$, $f(2) = 6$,

suy ra hàm số $f(x)$đồng biến trên đoạn $[ - 1;2]$.

Xét hàm số:

\[g(x) = {f^3}(x) - 3f(x).\]

Ta có:

\[g'(x) = 3{f^2}(x)f'(x) - 3f'(x) = 3f'(x)({f^2}(x) - 1).\]

$Cho hàm số $y = f(x)$. Hàm số $y = f'(x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. (ảnh 2)$

Xét trên đoạn $[ - 1;2]$:

\[g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'(x) = 0,}\\{{\rm{ho?c }}f(x) = \pm 1.}\end{array}} \right.\]

Từ đồ thị, $f'(x) = 0$ tại $x = - 1$ và $x = 2$.

Vì $f(x)$ đồng biến trên $[ - 1;2]$ nên:

\[f( - 1) = \frac{{13}}{4} > 1,\qquad f(2) = 6 > 1.\]

Suy ra phương trình $f(x) = \pm 1$ không có nghiệm trên $[ - 1;2]$.

Do đó, giá trị lớn nhất của $g(x)$ chỉ có thể đạt tại các đầu mút.

Tính giá trị tại các điểm biên:

\[g( - 1) = {\left( {\frac{{13}}{4}} \right)^3} - 3 \cdot \frac{{13}}{4} = \frac{{2197}}{{64}} - \frac{{39}}{4} = \frac{{2197 - 624}}{{64}} = \frac{{1573}}{{64}}.\]

\[g(2) = {6^3} - 3 \cdot 6 = 216 - 18 = 198.\]

So sánh:

\[\frac{{1573}}{{64}} > 198.\]

Vậy giá trị lớn nhất của $g(x)$ trên $[ - 1;2]$ là \[\frac{{1573}}{{64}}.\]