Cho hàm số y = f(x)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Sử dụng công thức lượng giác để đưa về hàm số lượng giác bậc nhất. Áp dụng tính nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Lời giải

Ta có: \({\rm{si}}{{\rm{n}}^8}x - {\rm{co}}{{\rm{s}}^8}x - 4{\rm{si}}{{\rm{n}}^6}x = \left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x - {\rm{co}}{{\rm{s}}^4}x} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^4}x} \right) - 4{\rm{si}}{{\rm{n}}^6}x\)

\( = \left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^4}x} \right) - 4{\rm{si}}{{\rm{n}}^6}x\)

\( = {\rm{co}}{{\rm{s}}^4}x{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - {\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - {\rm{co}}{{\rm{s}}^6}x - 3{\rm{si}}{{\rm{n}}^6}x\)

\( = {\rm{co}}{{\rm{s}}^4}x{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - {\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^6}x - \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^6}x + {\rm{si}}{{\rm{n}}^6}x} \right)\)

\( = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^4}x - {\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x} \right) - {\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x} \right) - \left( {1 - 3{{\cos }^2}x.{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x} \right)\)

\( = 4{\cos ^2}x.{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x - 1 = - \frac{3}{4}{\rm{cos}}4x + {\rm{cos}}2x - \frac{5}{4}\).

Suy ra:

\( = \mathop \smallint \nolimits^ \left( { - \frac{3}{4}{\rm{cos}}4x + {\rm{cos}}2x - \frac{5}{4}} \right){\rm{d}}x = - \frac{3}{{16}}{\rm{sin}}4x + \frac{1}{2}{\rm{sin}}2x - \frac{5}{4}x + C\).

Vì \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\).

Vậy \(f\left( x \right) = - \frac{3}{{16}}{\rm{sin}}4x + \frac{1}{2}{\rm{sin}}2x - \frac{5}{4}x\).