Cho hàm số y = f(x) = (cosx + m^2 + 3m)/(cosx + 2) (m là tham số thực). Hàm số y = f(x) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn

21/22

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{\rm{cos}}x + {m^2} + 3m}}{{{\rm{cos}}x + 2}}\) (\(m\) là tham số thực). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là \(M\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn \(M \le - 1\)?

Đáp số: __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đặt \(t = {\rm{cos}}x\). Với \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) thì \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Bài toán trở thành tìm \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( t \right) = \frac{{t + {m^2} + 3m}}{{t + 2}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) nhỏ hơn hoặc bằng \( - 1\).

Đạo hàm theo biến \(t\): \(g'\left( t \right) = \frac{{2 - \left( {{m^2} + 3m} \right)}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}\).

Do \(g\left( t \right)\) là hàm phân thức bậc nhất nên nó đơn điệu trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\). Giá trị lớn nhất của nó chỉ có thể đạt được tại một trong hai đầu mút \(t = - 1\) hoặc \(t = 1\).

Do đó, điều kiện \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{_{\left[ { - 1;1} \right]}} g\left( t \right) \le - 1\) tương đương với hệ điều kiện đồng thời:

\(\left\{ \begin{array}{l}g\left( { - 1} \right) \le - 1\\g\left( 1 \right) \le - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 1 + {m^2} + 3m}}{{ - 1 + 2}} \le - 1\\\frac{{1 + {m^2} + 3m}}{{1 + 2}} \le - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 3m - 1 \le - 1\\{m^2} + 3m + 1 \le - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 3m \le 0\\{m^2} + 3m + 4 \le 0{\rm{\;(v\^o \;nghiem\;v\`i \;}}\Delta < 0{\rm{)}}\end{array} \right.\)

Do phương trình \({m^2} + 3m + 4 \le 0\) vô nghiệm với mọi \(m \in \mathbb{R}\), nên không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp số: 0.