Cho hàm số y = f(x) có f(0) = 0 và f'(x) = (sin^8)x - (cos ^8)x - 4(sin ^6)x,

21/25

Từ câu hỏi 21 đến 25, thí sinh ghi câu trả lời vào ô vuông tương ứng.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 0\) và \(f'\left( x \right) = {\sin ^8}x - {\cos ^8}x - 4{\sin ^6}x,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\). Kết quả của tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {8f\left( x \right){\rm{d}}x} \) được cho dưới dạng \(a{\pi ^2}\) với \(a \in \mathbb{Z}\). Tìm giá trị của \(a\).

Đáp án: ___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta có \({\sin ^8}x - {\cos ^8}x - 4{\sin ^6}x = \left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 4{\sin ^6}x\)

\( = \left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 4{\sin ^6}x\)\( = {\cos ^4}x \cdot {\sin ^2}x - {\sin ^4}x \cdot {\cos ^2}x - {\cos ^6}x - 3{\sin ^6}x\)

\( = \left( {{{\cos }^4}x \cdot {{\sin }^2}x - {{\sin }^6}x} \right) - \left( {{{\sin }^4}x \cdot {{\cos }^2}x + {{\sin }^6}x} \right) - \left( {{{\cos }^6}x + {{\sin }^6}x} \right)\)

\( = {\sin ^2}x\left( {{{\cos }^4}x - {{\sin }^4}x} \right) - {\sin ^4}x\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) - \left( {1 - 3{{\cos }^2}x \cdot {{\sin }^2}x} \right)\)

\( = {\sin ^2}x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) - {\sin ^4}x - \left( {1 - 3{{\cos }^2}x \cdot {{\sin }^2}x} \right)\)

\( = {\sin ^2}x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) - {\sin ^4}x - \left( {1 - 3{{\cos }^2}x \cdot {{\sin }^2}x} \right)\)

\( = 4{\cos ^2}x \cdot {\sin ^2}x - 2{\sin ^4}x - 1\)\( = - \frac{3}{4}\cos 4x + \cos 2x - \frac{5}{4}\).

Do đó \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( { - \frac{3}{4}\cos 4x + \cos 2x - \frac{5}{4}} \right){\rm{d}}x} = - \frac{3}{{16}}\sin 4x + \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{5}{4}x + C\).

Vì \(f\left( 0 \right) = 0\) nên \( - \frac{3}{{16}}\sin \left( {4 \cdot 0} \right) + \frac{1}{2}\sin \left( {2 \cdot 0} \right) - \frac{5}{4} \cdot 0 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\).

Vậy \(f\left( x \right) = - \frac{3}{{16}}\sin 4x + \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{5}{4}x\).

Ta có \(I = \int\limits_0^\pi {8f\left( x \right){\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_0^\pi {8\left( { - \frac{3}{{16}}\sin 4x + \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{5}{4}x} \right){\rm{d}}x} \)

\( = \int\limits_0^\pi {\left( { - \frac{3}{2}\sin 4x + 4\sin 2x - 10x} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{3}{8}\cos 4x - 2\cos 2x - 5{x^2}} \right)} \right|_0^\pi = - 5{\pi ^2}\).

Vậy \(a = - 5\).

Đáp án: \( - 5\).